INDEPENDÊNCIA DOS PRINCÍPIOS BÁSICOS DE CONTAGEM

Vitor Mazal Krauss; Petrucio Viana; Márcia Rosana Cerioli

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Trabalho

Título do Trabalho

INDEPENDÊNCIA DOS PRINCÍPIOS BÁSICOS DE CONTAGEM

Autores

Vitor Mazal Krauss
Petrucio Viana
Márcia Rosana Cerioli

Modalidade

Resumo apresentação oral padrão

Área temática

Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN)/Matemática

Data de Publicação

22/03/2021

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

Português

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/jgmictac/317956-independencia-dos-principios-basicos-de-contagem

ISBN

978-65-5941-128-3

Palavras-Chave

princípios de contagem, independência, lógica, combinatória.

Resumo

A função de cardinalidade associa a cada conjunto finito A um número natural |A|, chamado a cardinalidade de A, que "conta o número de elementos de A. Os princípios de contagem são enunciados relacionando |A| com as cardinalidades dos conjuntos empregados na construção de A (de acordo com operações sobre conjuntos). A combinatória de contagem básica trata dos conjuntos finitos cujas cardinalidades podem ser determinadas por meio dos princípios de contagem básicos: o princípios da adição (PA), da bijeção, da inclusão-exclusão (PIE), da multiplicação e o princípio k para 1. O PA, por exemplo, garante que se A e B são conjuntos disjuntos, então |A U B| = |A|+|B|; já o PIE que se A e B são conjuntos quaisquer, então |A U B| = |A|+|B|-|A n B| (CHONG e MENG, 1992). Assumindo um conjunto P de propriedades fundamentais da função de cardinalidade, que não acarretam nenhum dos princípios de contagem, prova-se que, para conjuntos disjuntos, o PIE se reduz ao PA; e que, reciprocamente, o PIE é uma consequência do PA. Assim, podemos dizer que o PA e o PIE são equivalentes, módulo P. O objetivo principal deste trabalho é "fixar este conjunto P" e estudar as relações de consequência módulo P entre cada dois princípios de contagem. Como a combinatória de contagem básica trata apenas de estruturas finitas construídas a partir de objetos finitos, o ambiente natural para este estudo é a teoria dos conjuntos hereditariamente finitos (HF), ou seja, os conjuntos finitos cujos elementos são conjuntos finitos, cujos elementos são conjuntos finitos, e assim sucessivamente (KIRBY, 2009). Usualmente, HF é desenvolvida de maneira análoga à teoria usual dos conjuntos. Desta maneira, questões relativas a contagem não costumam fazer parte do seu desenvolvimento. Por esta razão, propomos uma nova apresentação de HF análoga ao desenvolvimento axiomático da teoria dos números. Em particular: apresentamos uma nova axiomatização para HF, análoga aos axiomas de Peano e, baseados nela, construímos os números naturais como conjuntos hereditariamente finitos; provamos a existência de uma família de funções de contagem, provamos generalizações do Teorema do Homomorfismo e do Teorema de Lawvere (dois resultados fundamentais da teoria dos números) (LAWVERE, 2005), e provamos que o nosso conjunto de axiomas é categórico. Quando o contradomínio da função de contagem é o conjunto dos números naturais, temos a função de cardinalidade, que conta o número de elementos dos conjuntos hereditariamente finitos. Para "fixarmos P", definimos uma classe de álgebras que generalizam a álgebra dos conjuntos finitos munida da função de contagem usual. Assim, cada princípio de contagem básico é definido como uma propriedade destas álgebras. Com isso, conseguimos estabelecer as relações de implicação entre os princípios de contagem, provando, no caso positivo, que qualquer álgebra que satisfaz um princípio satisfaz o outro e, no caso negativo, que existem álgebras que satisfazem um princípio e não o outro. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CHONG, C. C. e MENG, K. K. Principles and Techniques in Combinatorics. World Scientific Publishing, 1992. KIRBY, L. Finitary Set Theory. Notre Dame Journal of Formal Logic, 2009. v. 50, n. 3, p. 227-244. LAWVERE, F. W. An elementary theory of the category of sets. Reprints in Theory and Applications of Categories, 2005. n. 11, p. 1-35.

Título do Evento: XLII Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural (JICTAC 2020 - Edição Especial) - Evento UFRJ
Título dos Anais do Evento: Anais da Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

KRAUSS, Vitor Mazal; VIANA , Petrucio Viana ; CERIOLI, Márcia Rosana. INDEPENDÊNCIA DOS PRINCÍPIOS BÁSICOS DE CONTAGEM.. In: Anais da Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural. Anais...Rio de Janeiro(RJ) UFRJ, 2021. Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/jgmictac/317956-INDEPENDENCIA-DOS-PRINCIPIOS-BASICOS-DE-CONTAGEM. Acesso em: 27/04/2025